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Die `!Breit-Rabi-Formel`! (nach `F33f`_`[Gregory Breit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gregory_Breit]`_`f und `F33f`_`[Isidor Isaac Rabi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Isidor_Isaac_Rabi]`_`f (1931)`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]) beschreibt in der `F33f`_`[Atomphysik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Atomphysik]`_`f die `F33f`_`[Hyperfeinstruktur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hyperfeinstruktur]`_`f-Aufspaltung des `F33f`_`[Wasserstoffatoms`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wasserstoffatom]`_`f und wasserstoffähnlicher Atome (mit `F33f`_`[Valenzelektron`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Valenzelektron]`_`f in der s-Schale)`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] in Abhängigkeit eines externen `F33f`_`[Magnetfeldes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Magnetfeld]`_`f. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (`F33f`_`[Zeeman-Effekt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeeman-Effekt]`_`f) und starken Feldstärken (`F33f`_`[Paschen-Back-Effekt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paschen-Back-Effekt]`_`f) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen `F33f`_`[Kern`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kernspin]`_`f- und `F33f`_`[Hüllendrehimpuls`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin-Bahn-Kopplung]`_`f schon bei geringen Flussdichten im Bereich B ≈ ≈ 0 , 05 T {\\displaystyle B\\approx 0{,}05\\,\\mathrm {T} } entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin I {\\displaystyle I} und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses m F {\\displaystyle m_{F}} , jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls J = 1 2 {\\displaystyle J={\\tfrac {1}{2}}} . Sie lautet:`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

W I ± ± 1 2 , m F = − − A 4 + g I m F μ μ K B ± ± A ( 2 I + 1 ) 4 1 + 8 m F ( g J μ μ B − − g I μ μ K ) ( 2 I + 1 ) 2 A B + ( 2 g J μ μ B − − g I μ μ K A ( 2 I + 1 ) B ) 2 {\\displaystyle {W_{I\\pm {\\frac {1}{2}},m_{F}}=-{\\frac {A}{4}}+g_{I}m_{F}\\mu _{\\mathrm {K} }B\\pm {\\frac {A(2I+1)}{4}}{\\sqrt {1+{\\frac {8m_{F}\\left(g_{J}\\mu _{\\mathrm {B} }-g_{I}\\mu _{\\mathrm {K} }\\right)}{(2I+1)^{2}A}}B+\\left(2{\\frac {g_{J}\\mu _{\\mathrm {B} }-g_{I}\\mu _{\\mathrm {K} }}{A(2I+1)}}B\\right)^{2}}}}}

Dabei ist A {\\displaystyle A} die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, μ μ B {\\displaystyle \\mu _{\\mathrm {B} }} das `F33f`_`[Bohrsche`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bohrsches_Magneton]`_`f und μ μ K {\\displaystyle \\mu _{\\mathrm {K} }} das `F33f`_`[Kernmagneton`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kernmagneton]`_`f. g J {\\displaystyle g_{J}} und g I {\\displaystyle g_{I}} sind die `F33f`_`[Landé-Faktoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Landé-Faktor]`_`f des Hüllendrehimpulses J {\\displaystyle J} bzw. Kernspins I {\\displaystyle I} .

>>Contents

• `F0af`_`[Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms`#herleitung-f-r-den-grundzustand-des-wasserstoffatoms]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpuls`F33f`_`[quantenzahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenzahl]`_`f beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der `F33f`_`[reduzierten Planck-Konstante`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reduzierte_Planck-Konstante]`_`f ℏ ℏ {\\displaystyle \\hbar } entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin I = | I → → | ℏ ℏ = 1 2 {\\textstyle I={\\frac {|{\\vec {I}}|}{\\hbar }}={\\frac {1}{2}}} . Das einzige Elektron hat im `F33f`_`[Grundzustand`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Grundzustand]`_`f ( l = 0 {\\displaystyle l=0} ) nur einen `F33f`_`[Spin`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin]`_`f-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls J = | J → → | ℏ ℏ = 1 2 {\\textstyle J={\\frac {|{\\vec {J}}|}{\\hbar }}={\\frac {1}{2}}} ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der `F33f`_`[Drehimpulsalgebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Drehimpulsoperator]`_`f zum Gesamtdrehimpuls F → → = I → → + J → → {\\displaystyle {\\vec {F}}={\\vec {I}}+{\\vec {J}}} . Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von J {\\displaystyle J} und I {\\displaystyle I} stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der `F33f`_`[Hamiltonoperator`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hamiltonoperator]`_`f der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

H ^ ^ H F S = A I → → ⋅ ⋅ J → → ℏ ℏ 2 + ( g J μ μ B J z ℏ ℏ − − g I μ μ K I z ℏ ℏ ) B {\\displaystyle {\\hat {H}}_{\\mathrm {HFS} }=A{\\frac {{\\vec {I}}\\cdot {\\vec {J}}}{\\hbar ^{2}}}+\\left(g_{J}\\mu _{\\mathrm {B} }{\\frac {J_{z}}{\\hbar }}-g_{I}\\mu _{\\mathrm {K} }{\\frac {I_{z}}{\\hbar }}\\right)B}

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis | J I F m F ⟩ ⟩ {\\displaystyle |JIFm_{F}\\rangle } diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses F → → {\\displaystyle {\\vec {F}}} auf die Richtung des Magnetfeldes m F = m J + m I {\\textstyle m_{F}=m_{J}+m_{I}} (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

A I → → ⋅ ⋅ J → → ℏ ℏ 2 = A 2 ( F ( F + 1 ) − − I ( I + 1 ) − − J ( J + 1 ) ) {\\displaystyle A{\\frac {{\\vec {I}}\\cdot {\\vec {J}}}{\\hbar ^{2}}}={\\frac {A}{2}}\\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\\right)}

Die z {\\displaystyle z} -Komponenten I z {\\displaystyle I_{z}} und J z {\\displaystyle J_{z}} lassen sich mit dem `F33f`_`[Wigner-Eckart-Theorem`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wigner-Eckart-Theorem]`_`f ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als ( F | m F ) {\\displaystyle (F|m_{F})} zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit m F = 0 {\\displaystyle m_{F}=0} , die mischen.

⟨ ⟨ J I F ′ m F ′ | J z | J I F m F ⟩ ⟩ ℏ ℏ = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) 0 0 1 2 0 ( 1 | − − 1 ) 0 − − 1 2 0 0 ( 1 | 0 ) 1 2 0 0 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 1 2 ) {\\displaystyle {\\frac {\\langle JIF'm_{F}'|J_{z}|JIFm_{F}\\rangle }{\\hbar }}=\\left({\\begin{array}{c|cccc}&\\left(0|0\\right)&\\left(1|-1\\right)&\\left(1|0\\right)&\\left(1|1\\right)\\\\\\hline \\left(0|0\\right)&0&0&{\\frac {1}{2}}&0\\\\\\left(1|-1\\right)&0&-{\\frac {1}{2}}&0&0\\\\\\left(1|0\\right)&{\\frac {1}{2}}&0&0&0\\\\\\left(1|1\\right)&0&0&0&{\\frac {1}{2}}\\end{array}}\\right)}

Analog folgt für die z {\\displaystyle z} -Komponente des Kernspins:

⟨ ⟨ J I F ′ m F ′ | I z | J I F m F ⟩ ⟩ ℏ ℏ = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) 0 0 − − 1 2 0 ( 1 | − − 1 ) 0 − − 1 2 0 0 ( 1 | 0 ) − − 1 2 0 0 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 1 2 ) {\\displaystyle {\\frac {\\langle JIF'm_{F}'|I_{z}|JIFm_{F}\\rangle }{\\hbar }}=\\left({\\begin{array}{c|cccc}&\\left(0|0\\right)&\\left(1|-1\\right)&\\left(1|0\\right)&\\left(1|1\\right)\\\\\\hline \\left(0|0\\right)&0&0&-{\\frac {1}{2}}&0\\\\\\left(1|-1\\right)&0&-{\\frac {1}{2}}&0&0\\\\\\left(1|0\\right)&-{\\frac {1}{2}}&0&0&0\\\\\\left(1|1\\right)&0&0&0&{\\frac {1}{2}}\\end{array}}\\right)}

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt I = J = 1 2 {\\displaystyle I=J={\\frac {1}{2}}} sowie g J ≈ ≈ 2 {\\displaystyle g_{J}\\approx 2} für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:`:cite-ref-6[`F5bf`_`[6`#cite-note-6]`_`f]

H ^ ^ H F S = ( ( 0 | 0 ) ( 1 | − − 1 ) ( 1 | 0 ) ( 1 | 1 ) ( 0 | 0 ) − − 3 A 4 0 ( μ μ B + g I 2 μ μ K ) B 0 ( 1 | − − 1 ) 0 A 4 − − ( μ μ B − − g I 2 μ μ K ) B 0 0 ( 1 | 0 ) ( μ μ B + g I 2 μ μ K ) B 0 A 4 0 ( 1 | 1 ) 0 0 0 A 4 + ( μ μ B − − g I 2 μ μ K ) B ) {\\displaystyle {\\hat {H}}_{\\mathrm {HFS} }=\\left({\\begin{array}{c|cccc}&\\left(0|0\\right)&\\left(1|-1\\right)&\\left(1|0\\right)&\\left(1|1\\right)\\\\\\hline (0|0)&-{\\frac {3A}{4}}&0&\\left(\\mu _{\\mathrm {B} }+{\\frac {g_{I}}{2}}\\mu _{\\mathrm {K} }\\right)B&0\\\\(1|-1)&0&{\\frac {A}{4}}-\\left(\\mu _{\\mathrm {B} }-{\\frac {g_{I}}{2}}\\mu _{\\mathrm {K} }\\right)B&0&0\\\\(1|0)&\\left(\\mu _{\\mathrm {B} }+{\\frac {g_{I}}{2}}\\mu _{\\mathrm {K} }\\right)B&0&{\\frac {A}{4}}&0\\\\(1|1)&0&0&0&{\\frac {A}{4}}+\\left(\\mu _{\\mathrm {B} }-{\\frac {g_{I}}{2}}\\mu _{\\mathrm {K} }\\right)B\\end{array}}\\right)}

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in μ μ K {\\displaystyle \\mu _{\\mathrm {K} }} für allgemeine Werte für I , F {\\displaystyle I,F} und m F {\\displaystyle m_{F}} gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082–2083, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1103/PhysRev.38.2082.2.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f `F33f`_`[Dieter Meschede`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dieter_Meschede]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Gerthsen Physik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gerthsen_Physik]`_`f. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 762.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.

`:cite-note-6`!6.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-6]`_`f Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.

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